Teoría de conjuntos, tipos de conjuntos

Conjunto finito.

Es aquel conjunto con cardinalidad definida.

Ejemplo

B = { x | x es un día de la semana }

B = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

El conjunto tiene 7 elementos, es decir su cardinalidad está definida, por tanto es finito.

Conjunto infinito.

Es aquél cuya cardinalidad no está definida, por ser demasiado grande para cuantificarlo.

Ejemplo

C = { x ∈ N | x es múltiplo de 3 }

C = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 27, 30,… }

El conjunto continúa indefinidamente, no se puede determinar su número de elementos, por tanto, su cardinalidad es infinita y se escribe como:

n(C ) = ∞

Conjunto Vacío

Es aquel que carece de elementos y se denota con el símbolo φ o bien { }.

Ejemplo:

D = { x ∈ N | 2x − 1= 0 }

El único valor de x que satisface la igualdad es 1pero no pertenece al conjunto de los números naturales, por tanto,

el conjunto D es vacío. D={ }= φ

su cardinalidad es n(D) = 0

Conjuntos Equivalentes.

Sean A y B conjuntos no vacíos, se dice que A es equivalente a B si y sólo si tiene la misma cardinalidad; se denota:

A ≅ B y se lee A es equivalente a B.

Ejemplo

Si A = { x ∈ N | x <5} y B = { a, e, i, o } comprueba que A es equivalente a B.

Las cardinalidades son: n(A) = 4, n(B) = 4, por tanto, se concluye que ambos son equivalentes. A ≅ B.

Conjuntos Iguales.

Son aquellos que tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos.

Ejemplo

A = { x ∈ N | x es divisor de 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 }

Solución

Los conjuntos en su forma enumerativa son:

A = { 1, 2, 3, 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 }

Sus cardinalidades son: n(A) = n(B) = 4

Ambos tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos, por tanto, los conjuntos son iguales, es decir, A = B.

Conjuntos disjuntos.

Son aquellos que no tienen elementos comunes.

Ejemplo

R = { x ∈ N | x es divisor de 5 } y S = { x ∈ N | 2 < x < 5 }?

Solución

Los conjuntos en su forma enumerativa son:

R = { 1, 5, } y S = { 3, 4, }

Los conjuntos no tienen elementos en común, por tanto, los conjuntos R y S  son disjuntos.

Subconjuntos.

Dado un conjunto S se dice que A es subconjunto de S, si todos los elementos de A están contenidos en el conjunto S

y se denota por A ⊆ S.

El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplo

Dados los conjuntos S = { x | x es dígito } y A = { 2, 4, 6, 8 }, verifica que A ⊆ S.

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Los elementos de A están contenidos en S, por tanto,

A ⊆S.

Subconjunto propio.

Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es subconjunto propio de A si todos los elementos de B están en A y no son equivalentes

Ejemplo

Sean los conjuntos L = { 2, 4, 5, 6, 8 } y M = { 2, 4, 6 }, verifica que M ⊂ L.

Los elementos de M están contenidos en L, y M no es equivalente a L, por consiguiente, M ⊂ L.

Número de subconjuntos de un conjunto. El número de subconjuntos está dado por la fórmula:

  N(s) = 2n   n = cardinalidad

Ejemplo

R = { a, b, c, d }

La cardinalidad del conjunto es 4, entonces n = 4 y al aplicar la fórmula se obtiene 24

Número de subconjuntos = = 16

Conjunto Potencia.

Se le llama así al conjunto que forman todos los subconjuntos de un conjunto. Ejemplo

T = { 2, 4, 6 }

El número de subconjuntos de T es:

N(s) = 23 = 8

El conjunto potencia está formado por 8 subconjuntos de cero, uno, dos y tres elementos, los cuales son:

{{ },{ 2 },{ 4 },{ 6 },{ 2,4 },{ 2,6 },{ 4,6 },{ 2, 4,6 }}

Conjunto Universo.

Sean A, B, C, …, subconjuntos de un conjunto U, a este último se le llama conjunto universo de los conjuntos dados. Ejemplo

Sea U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y los conjuntos A, B  y C tales que:

A = { 2, 4, 6, 8 }, B = { 1, 2, 3, 4 } y C = { 1, 2, 6, 7 }

Como A ⊆ U, B ⊆ U, C ⊆ U, siendo U el conjunto universo.

ACTIVIDAD DE PRACTICA.

Indicación: Dar clic en el siguiente enlace para realizar la actividad practica.

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